Hom 函手
Hom functor
Hom関手 - Wikipedia
hom-functor in nLab
共變函手$ {\rm Hom}(A,\_):{\bf C}\to{\bf Set}
對象$ Xを集合$ {\rm Hom}(A,X)へ寫す
射$ A\to Xが無ければ空集合へ寫す
射$ f:X\to Yを寫像$ {\rm Hom}(A,f):{\rm Hom}(A,X)\to{\rm Hom}(A,Y),(g:A\to X)\mapsto((g;f):A\to Y)へ寫す
$ {\rm Hom}_{\bf C}(A,\_) とも$ {\bf C}(A,\_) とも$ [A,\_] とも書く
反變函手$ {\rm Hom}(\_,B):{\bf C}^{\rm op}\to{\bf Set}
對象$ Xを集合$ {\rm Hom}(X,B)へ寫す
射$ f:X\to Yを寫像$ {\rm Hom}(f,B):{\rm Hom}(X,B)\to{\rm Hom}(Y,B),(g:X\to B)\mapsto((f;g):Y\to B)へ寫す
前層とも言ふ
雙函手$ {\rm Hom}(\_,\_):{\bf C}^{\rm op}\times{\bf C}\to{\bf Set}
對象$ (X,Y)を集合$ {\rm Hom}(X,Y)へ寫す
射$ (f,g):(X,X')\to(Y,Y')を寫像$ {\rm Hom}(f,g):{\rm Hom}(X,X')\to{\rm Hom}(Y,Y'),(h:X\to X')\mapsto((f;h;g):Y\to Y')へ寫す
以下の可換圖式が成り立つ
$ {\rm Hom}(A,B)\xrightarrow{{\rm Hom}(h,B)}{\rm Hom}(A',B)\xrightarrow{{\rm Hom}(A',f)}{\rm Hom}(A',B')\xleftarrow{{\rm Hom}(h,B')}{\rm Hom}(A,B')\xleftarrow{{\rm Hom}(A,f)}{\rm Hom}(A,B)
Hom が集合以上の構造を持つならば、その構造を持つ對象の圈への函手を考へればよい
$ {\bf C}が$ \cal V-豐饒圈であれば、$ {\rm Hom}(\_,\_):{\bf C}^{\rm op}\times{\bf C}\to{\cal V}を考へる
Hom 函手の域が自身である場合を內部 Hom 函手 (internal Hom functor)$ {\rm hom}(-,-):{\bf C}^{\rm op}\times{\bf C}\to{\bf C}と言ふ
internal hom in nLab
內部 Hom 函手を持つ圈を閉圈 (closed category) と言ふ
Closed category - Wikipedia
closed category in nLab
monoidal 閉圈
Cartesian 閉圈 (CCC)
米田埋め込み$ よ_A(X):={\rm Hom}(X,A),$ よ^A(X):={\rm Hom}(A,X)
隨伴 (函手) : tensor 積$ \_\otimes\_:{\bf C}\times{\bf C}\to{\bf C}$ \dashvHom 函手$ {\rm Hom}(\_,\_):{\bf C}\times{\bf C}\to{\cal V}
$ {\rm Hom}(U\otimes V,W)\cong{\rm Hom}(U,{\rm Hom}(V,W))